Старт в науке. Решаем уравнения путем подбора параметра в Excel Как решить функцию в excel

Старт в науке. Решаем уравнения путем подбора параметра в Excel Как решить функцию в excel
Старт в науке. Решаем уравнения путем подбора параметра в Excel Как решить функцию в excel
08.10.2023

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

14x1 +2x2 +8x4 =218
7x1 -3x2 +5x3 +12x4 =213
5x1 +x2 -2x3 +4x4 =83
6x1 +2x2 +x3 -3x4 =21

  1. Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1 . Обозначаем полученную таблицу, как вектор A .

  2. Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B .

  3. Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР . Он имеет довольно простой синтаксис:

    МОБР(массив)

    Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

    Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию» , расположенную около строки формул.

  4. Выполняется запуск Мастера функций . Переходим в категорию «Математические» . В представившемся списке ищем наименование «МОБР» . После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK» .

  5. МОБР . Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив» . Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK» , но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter . Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter , а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter . Выполняем эту операцию.

  6. Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

  7. Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B , которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ . Данный оператор имеет следующий синтаксис:

    МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

    Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций , нажав значок «Вставить функцию» .

  8. В категории «Математические» , запустившегося Мастера функций , выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK» .

  9. Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ . В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2» , только на этот раз выделяем значения колонки B . После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter , а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter .

  10. После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1 , X2 , X3 и X4 . Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

    11. Способ 2: подбор параметров

    Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение


    Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x .

    Способ 3: метод Крамера

    Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1 :

    14x1 +2x2 +8x4 =218
    7x1 -3x2 +5x3 +12x4 =213
    5x1 +x2 -2x3 +4x4 =83
    6x1 +2x2 +x3 -3x4 =21

    1. Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно» .

    2. Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A , только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B . У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

    3. Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД . Синтаксис данного оператора следующий:

      МОПРЕД(массив)

      Таким образом, как и у функции МОБР , единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

      Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию» .

    4. Активируется окно Мастера функций . Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД» . После этого жмем на кнопку «OK» .

    5. Запускается окно аргументов функции МОПРЕД . Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив» . В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK» . Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter .

    6. Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740 , то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

    7. Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

    8. На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

    9. Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148 , которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5 , 14 , 8 и 15 . Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1 , что подтверждает правильность решения системы уравнений.

    Способ 4: метод Гаусса

    Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

    14x1 +2x2 +8x3 =110
    7x1 -3x2 +5x3 =32
    5x1 +x2 -2x3 =17

    1. Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A , а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B . Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

    2. Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

      B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

      Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

      После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter . К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

    3. После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

    4. Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать» , которая расположена на ленте во вкладке «Главная» .

    5. Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка» . В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения» .

    6. В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

      B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

      После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .

    7. Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

      Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .

    8. Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

      =(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

      Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

    9. Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

      =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

      Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .

    10. Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4 , 7 и 5 ) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1 , X2 и X3 в выражения.

    Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Существует множество задач, решение которых может быть существенно облегченно с помощью инструмента Поиск решений. Но для этого следует начать с организации рабочего листа в соответствии с пригодной для поиска решений моделью, для чего нужно хорошо понимать взаимосвязи между переменными и формулами. Хотя постановка задачи обычно представляет основную сложность, время и усилия, затраченные на подготовку модели, вполне оправданы, поскольку полученные результаты могут уберечь от излишней траты ресурсов, при неправильном планирование, помогут увеличить прибыль за счет оптимального управление финансами или выявить наилучшее соотношение объемов производства, запасов и наименований продукции.

За своей сущностью задача оптимизации – это математическая модель определенного процесса производства продукции, его распределение, хранение, переработки, транспортирования, покупки или продажи, выполнение комплекса сервисных услуг и т.д. Это обычная математическая задача типа: Дано/Найти/При условии, но которая имеет множество возможных решений. Таким образом, задача оптимизации – задача выбора з множества возможных вариантов наилучшего, оптимального. Решение такой задачи называют планом или программой , например, говорят – план производства или программа реконструкции. Другими словами это те неизвестные которые нам надо найти, например, количество продукции которое даст максимальную прибыль. Задача оптимизации – поиск экстремума, то есть, максимального или минимального значения определенной функции, которую называют целевой функцией , например, это может быть функция прибыли – выручка минус затраты. Так как и всё в мире ограничено (время, деньги, природные и человеческие ресурсы), в задачах оптимизации всегда есть определенные ограничения , например, количество метала, рабочих и станков на предприятии по изготовлению деталей. Далее рассмотрен пример оформления очень простой задачи оптимизации, но с помощью его можно легко понять организации о построение таблицы для эффективности решений практический проблем оптимизации.

Имеем классическую задачу когда фирма производит два вида продукции (товар А и товар Б) по определенной цене, на их производство требуется 4 вида ресурсов (ресурс 1, ресурс 2, ресурс 3, ресурс 4), которые есть в наличие на фирме в определенном количестве (Запас), также имеется информация сколько нужно каждого ресурса на производство единицы продукции, соответственно товара А и товара Б. Нужно найти, то количество товара А и товара Б, которое максимизирует доход (выручку) (см. рис.).

Далее нам надо сделать взаимосвязи между ограничениями, планом и целевой функцией. Для этого мы строим дополнительный столбец (Использовано), в котором вводим формулуСУММПРОИЗВ (Норма; План). Норма - это затраты определенного ресурса на производство единицы продукции товара А и Б, а План – количество продукции, которое мы ищем. В ячейки Доход вводим формулу СУММПРОИЗВ (Цена; План). Таким образом мы заполнили формулами столбец Использовано и ячейку Доход. Так как план это переменные от которых зависит количество использованных ресурсов и доход, то ячейки с формулами напрямую зависят от данных, которые там появятся в результате поиска решений. С выше сказанного можно сделать следующие выводы, что каждая задача оптимизации обязательно должна иметь три компоненты:

    неизвестные (что ищем, то есть, план);

    ограничение на неизвестные (область поиска);

    целевая функция (цель, для которой ищем экстремум).

Мощным средством анализа данных Excel является надстройка Solver (Поиск решения) . С ее помощью можно определить, при каких значениях указанных влияющих ячеек формула в целевой ячейке принимает нужное значение (минимальное, максимальное или равное какой-либо величине). Для процедуры поиска решения можно задать ограничения, причем не обязательно, чтобы при этом использовались те же влияющие ячейки. Для расчета заданного значения применяются различные математические методы поиска. Вы можете установить режим, в котором полученные значения переменных автоматически заносятся в таблицу. Кроме того, результаты работы программы могут быть оформлены в виде отчета. Программа Поиск решений (в оригинале Excel Solver) – дополнительная надстройка табличного процессора MS Excel, которая предназначена для решения определенных систем уравнений, линейных та нелинейных задач оптимизации, используется с 1991 года. Размер задачи, которую можно решить с помощью базовой версии этой программы, ограничивается такими предельными показателями:

    количество неизвестных (decision variable) – 200;

    количество формульных ограничений (explicit constraint) на неизвестные – 100;

    количество предельных условий (simple constraint) на неизвестные – 400.

Разработчик программы Solver компания Frontline System уже давно специализируется на разработке мощных и удобных способов оптимизации, встроенных в среду популярных табличных процессоров разнообразных фирм-производителей (MS Excel Solver, Adobe Quattro Pro, Lotus 1-2-3). Высокая эффективность их применения объясняется интеграциею программы оптимизации и табличного бизнес-документа. Благодаря мировой популярности табличного процессора MS Excel встроенная в его среду программа Solver есть наиболее распространенным инструментом для поиска оптимальных решений в сфере современного бизнеса. По умолчанию в Excel надстройка Поиск решения отключена. Чтобы активизировать ее в Excel 2007 , щелкните значок Кнопка Microsoft Office , щелкните Параметры Excel , а затем выберите категорию Надстройки . В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти . В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК .

В Excel 2003 и ниже выберите команду Сервис/Надстройки , в появившемся диалоговом окне Надстройки установите флажок Поиск решения и щелкните на кнопке ОК. Если вслед за этим на экране появится диалоговое окно с предложением подтвердить ваши намерения, щелкните на кнопке Да. (Возможно, вам понадобится установочный компакт-диск Office).

Процедура поиска решения 1. Создайте таблицу с формулами, которые устанавливают связи между ячейками.

2. Выделите целевую ячейку, которая должна принять необходимое значение, и выберите команду: - В Excel 2007 Данные/Анализ /Поиск решения ;

В Excel 2003 и ниже Tools > Solver (Сервис > Поиск решения). Поле Set Target Cell (Установить целевую ячейку) открывшегося диалогового окна надстройки Solver (Поиск решения) будет содержать адрес целевой ячейки. 3. Установите переключатели Equal To (Равной), задающие значение целевой ячейки, - Мах (максимальному значению), Min (минимальному значению) или Value of (значению). В последнем случае введите значение в поле справа. 4. Укажите в поле By Changing Cells (Изменяя ячейки), в каких ячейках программа должна изменять значения в поисках оптимального результата. 5. Создайте ограничения в списке Subject to the Constraints (Ограничения). Для этого щелкните на кнопке Add (Добавить) и в диалоговом окне Add Constraint (Добавление ограничения) определите ограничение.

6. Щелкните на кнопке на кнопке Options (Параметры), и в появившемся окне установите переключатель Неотрицательные значения (если переменные должны быть позитивными числами), Линейная модель (если задача, которую вы решаете, относится к линейным моделям)

7. Щелкнув на кнопке Solver (Выполнить), запустите процесс поиска решения.

8. Когда появится диалоговое окно Solver Results (Результаты поиска решения), выберите переключатель Keep Solve Solution (Сохранить найденное решение) или Restore Original Values (Восстановить исходные значения). 9. Щелкните на кнопке ОК.

Параметры средства Поиск решения Максимальное время - служит для ограничения времени, отпущенного на поиск решения задачи. В этом поле можно ввести время в секундах, не превышающее 32 767 (примерно девять часов); значение 100, используемое по умолчанию, вполне приемлемо для решения большинства простых задач.

Предельное число итераций - управляет временем решения задачи путем ограничения числа вычислительных циклов (итераций). Относительная погрешность - определяет точность вычислений. Чем меньше значение этого параметра, тем выше точность вычислений. Допустимое отклонение - предназначен для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. Чем больше значение допуска, тем меньше времени требуется на поиск решения. Сходимость - применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается. Линейная модель - служит для ускорения поиска решения путем применения к задаче оптимизации линейной модели. Нелинейные модели предполагают использование нелинейных функций, фактора роста и экспоненциального сглаживания, что замедляет вычисления. Неотрицательные значения - позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых не было задано соответствующее ограничение в диалоговом окне Добавить ограничение. Автоматическое масштабирование - используется, когда числа в изменяемых ячейках и в целевой ячейке существенно различаются. Показывать результаты итераций - приостанавливает поиск решения для просмотра результатов отдельных итераций. Загрузить модель - после щелчка на этой кнопке отрывается одноименное диалоговое окно, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, содержащих модель оптимизации. Сохранить модель - служит для отображения на экране одноименного диалогового окна, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, предназначенный для хранения модели оптимизации. Оценка линейная - выберите этот переключатель для работы с линейной моделью. Оценка квадратичная - выберите этот переключатель для работы с нелинейной моделью. Разности прямые - используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Увеличивает скорость работы средства Поиск решения. Разности центральные - используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдано сообщение о том, что получить более точное решение не удается. Метод поиска Ньютона - требует больше памяти, но выполняет меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов. Метод поиска сопряженных градиентов - реализует метод сопряженных градиентов, для которого требуется меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно большая и необходимо экономить память или если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

В этой статье мы расскажем, как использовать формулы для решения систем линейных уравнений.

Вот пример системы линейных уравнений:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

Решение состоит в нахождении таких значений х и у , которые удовлетворяют обоим уравнениям. Эта система уравнений имеет одно решение:
x = 7,5
y = -3,625

Количество переменных в системе уравнений должно быть равно количеству уравнений. Предыдущий пример использует два уравнения с двумя переменными. Три уравнения требуются для того, чтобы найти значения трех переменных (х ,у и z ). Общие действия по решению систем уравнений следующие (рис. 128.1).

  1. Выразите уравнения в стандартной форме. Если это необходимо, используйте основы алгебры и перепишите уравнение так, чтобы все переменные отображались по левую сторону от знака равенства. Следующие два уравнения идентичны, но второе приведено в стандартном виде:
    3x - 8 = -4y
    3x + 4y = 8 .
  2. Разместите коэффициенты в диапазоне ячеек размером n x n , где n представляет собой количество уравнений. На рис. 128.1 коэффициенты находятся в диапазоне I2:J3 .
  3. Разместите константы (числа с правой стороны от знака равенства) в вертикальном диапазоне ячеек. На рис. 128.1 константы находятся в диапазоне L2:L3 .
  4. Используйте массив формул для расчета обратной матрицы коэффициентов. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон I6:J7 (не забудьте нажать Ctrl+Shift+Enter , чтобы ввести формулу массива): =МОБР(I2:J3) .
  5. Используйте формулу массива для умножения обратной матрицы коэффициентов на матрицу констант. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон J10:JJ11 , который содержит решение (x = 7,5 и у = -3,625): =МУМНОЖ(I6:J7;L2:L3) . На рис. 128.2 показан лист, настроенный для решения системы из трех уравнений.

Цель урока : продолжить формирование навыков работы с электронными таблицами.

  • обучающие:
    •  формировать умения создания, редактирования, форматирования и выполнения простейших вычислений в электронных таблицах.
  • развивающие:
    •      расширить представления учащихся о возможных сферах применения электронных таблиц; развивать навыки аналитического мышления, речи и внимания.
  • воспитательные:
    •      формировать и воспитывать познавательный интерес; прививать навыки самостоятельности в работе.

План урока.

  1. Организационный момент.
  2. Актуализация знаний учащихся.
  3. Проверка домашнего задания.
  4. Решение задач.
  5. Самостоятельное решение задачи.
  6. Подведение итогов. Оценки.
  7. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели и задачи урока.

Сегодня мы вновь окажемся в гостях у маленького великана Васи в Сказочной стране. Ему, как всегда, требуется ваша помощь, ребята.

Сможете ли вы помочь Васе? Сейчас проверим!

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Устно ответить на вопросы.

A B C D
1 2 1 =A1+3*B1 =A1^2+B1
2 4 6 =A2+3*B2 =A2^2+B2
  • Что такое электронная таблица?
  • Какие основные элементы электронной таблицы вам известны?
  • Как задается имя ячейки (строки, столбца) в электронной таблице?
  • Что может быть содержимым ячейки?
  • Число 1 находится в столбце..., в строке..., в ячейке с адресом...
  • Число 4 находится в ячейке с адресом...
  • Каковы правила записи формул в ячейках?
  • Чему равно значение, вычисляемое по формуле, в ячейке С1?
  • Чему равно значение, вычисляемое по формуле, в ячейке D2?

2) Какой результат будет получен в ячейках с формулами?

А В
1 25 4
2 2 =A1*B1/2
3

Ответ: 25*4/2=50

A B C D
1 5 2 1
2 6 8 3
3 8 3 4
4 =СУММ(B1:D3)
  • Что означает запись =СУММ(В1:D3)?
  • Сколько элементов содержит блок В1:D3? Ответ: 9.
  • Содержимое ячейки D3? Ответ: 5+2+1+6+8+3+8+3+4= 40

3) Проверка домашнего задания

Результаты соревнований по плаванию

Один ученик рассказывает, как он выполнил домашнее задание (через проектор).

№ Ф.И.О. 1 2 3 Лучшее время Среднее время Отклонение
1 Лягушкин 3.23 3.44 3.30
2 Моржов 3.21 3.22 3.24
3 Акулов 3.17 3.16 3.18
4 Рыбин 3.24 3.20 3.18
5 Черепахин 3.56 3.44 3.52
Максимальное отклонение
  • Среднее время для каждого спортсмена находится как среднее арифметическое трех его заплывов.
  • В ячейку "Лучшее время" записывается минимальный результат из 3 заплывов.
  • В ячейку "Лучший результат соревнований" записывается минимальное время из столбца.
  • В столбец "Отклонение" записывается разность между лучшим временем спортсмена и лучшим результатом соревнований.
  • В ячейку "Максимальное отклонение" записывается максимальное значение столбца.
Результаты соревнований по плаванию
№ Ф.И.О. 1 2 3 Лучшее время Среднее время Отклонение
1 Лягушкин 3,23 3,44 3,30 3,23 3,32 0,07
2 Моржов 3,21 3,22 3,24 3,21 3,22 0,05
3 Акулов 3,17 3,16 3,18 3,16 3,17 0,00
4 Рыбин 3,24 3,20 3,18 3,18 3,21 0,02
5 Черепахин 3,56 3,44 3,52 3,44 3,51 0,28
Лучший результат соревнований 3,16
Среднее время участников соревнований 3,29
Максимальное отклонение 0,28

4) Решение простых задач.

Маленький великан Вася решил отремонтировать забор вокруг своего огорода и вскопать его под посадку овощей (наступила очередная весна), разметить грядки прямоугольной формы. Для работы ему потребовалось найти длину забора и площадь участка. Но ведь в школе он никогда не учился. Поможем Васе.

№ 1. Вычислить периметр и площадь прямоугольника со сторонами:

а) 3 и 5; б) 6 и 8; в) 10 и 7.

Эту задачу обсуждаем совместно с детьми:

  • Как оформить таблицу?
  • Какие формулы использовать?
  • Как использовать уже записанные формулы для следующего прямоугольника?

Оформление таблицы – на доске и в тетрадях.

В то же время другой ученик самостоятельно решает следующую задачу и представляет свое решение учащимся (через проектор).

Обсудив решение задачи № 2, переходим к решению следующей.

Один ученик показывает, как работать с формулами, другой – как использовать функцию суммирования, числовой формат (общий, денежный) и т.д. (Таблица уже готова, ученикам предстоит ввести формулы, использовать суммирование и получить ответ).

№ 3. Посчитайте, используя ЭТ, хватит ли Васе 150 рублей, чтобы купить все продукты, которые ему заказала мама, и хватит ли на чипсы за 10 рублей? Сдачу мама разрешила положить в копилку. Сколько рублей попадет в копилку?

Предполагаемое решение:

№ Наименование Цена в рублях Количество Стоимость
1 Хлеб 9,6 2 =C2*D2
2 Кофе 2,5 5 =C3*D3
3 Молоко 13,8 2 =C4*D4
4 Пельмени 51,3 1 =C5*D5
=СУММ(E2:E5)
После покупок останется =150-E6
После покупки чипсов останется =D7-10

5) Самостоятельное решение задачи.

Маленький великан Вася часто бывал в гостях у жителей Цветочного города.

Собираясь на пляж, веселые человечки решили запастись прохладительными напитками. Незнайка взял с собой 2 литра кваса, 1 литр газировки и 1 литр малинового сиропа, Пончик – 3 литра газировки и 2 литра малинового сиропа, Торопыжка – 2 литра газировки, доктор Пилюлькин – 1 литр кваса и 1 литр касторки.

  • Сколько литров напитков каждого вида взяли все человечки вместе?
  • Сколько всего литров напитков взял с собой каждый из человечков?
  • Сколько всего литров напитков взяли все человечки вместе?

Оформите таблицу произвольно и сохраните в своей личной папке.

Результат работы.

Веселые человечки. Напитки.
Напиток Незнайка Пончик Торопыжка Пилюлькин Всего
Квас, л 2 0 0 1 3
Газировка, л 1 3 2 0 6
Сироп, л 1 2 0 0 9
Касторка, л 0 0 0 1 1
ИТОГО: 4 5 2 2 13

7) Подведение итогов. Оценки.

8) Домашнее задание.

Подумайте и решите эту задачу, если известны еще следующие величины.

Как изменится таблица? Какие формулы появятся?

Известно, что 1 литр кваса в Цветочном городе стоит 1 монету, 1 литр газировки – 3 монеты, 1 литр малинового сиропа – 6 монет, 1 литр касторки – 2 монеты.

  • Сколько монет истратил на покупку напитков каждый человечек?
  • Сколько монет затрачено на покупку напитков каждого вида?
  • Сколько потрачено денег всеми человечками вместе?

Литература

  1. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. /Под ред. И.Г.Семакина, Е.К.Хеннера – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2010.
  2. Ефимова О. Курс компьютерной технологии с основами информатики. – М.: ООО “издательство АСТ”; АВF, 2005.

Поиск решения - это надстройка Microsoft Excel, с помощью которой можно найти оптимальное решение задачи с учетом заданных пользователем ограничений.

Поиск решения будем рассматривать в (эта надстройка претерпела некоторые изменения по сравнению с предыдущей версией в .
В этой статье рассмотрим:

  • создание оптимизационной модели на листе MS EXCEL
  • настройку Поиска решения;
  • простой пример (линейная модель).

Установка Поиска решения

Команда Поиск решения находится в группе Анализ на вкладке Данные .

Если команда Поиск решения в группе Анализ недоступна, то необходимо включить одноименную надстройку.
Для этого:

  • На вкладке Файл выберите команду Параметры , а затем - категорию Надстройки ;
  • В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти;
  • В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК.

Примечание . Окно Надстройки также доступно на вкладке Разработчик . Как включить эту вкладку .

После нажатия кнопки Поиск решения в группе Анализ, откроется его диалоговое окно.

При частом использовании Поиска решения его удобнее запускать с Панели быстрого доступа, а не из вкладки Данные. Чтобы поместить кнопку на Панель, кликните на ней правой клавишей мыши и выберите пункт Добавить на панель быстрого доступа .

О моделях

Этот раздел для тех, кто только знакомится с понятием Оптимизационная модель.

Совет . Перед использованием Поиска решения настоятельно рекомендуем изучить литературу по решению оптимизационных задач и построению моделей.

Ниже приведен небольшой ликбез по этой теме.

Надстройка Поиск решения помогает определить лучший способ сделать что-то :

  • "Что-то" может включать в себя выделение денег на инвестиции, загрузку склада, доставку товара или любую другую предметную деятельность, где требуется найти оптимальное решение.
  • "Лучший способ" или оптимальное решение в этом случае означает: максимизацию прибыли, минимизацию затрат, достижение наилучшего качества и пр.

Вот некоторые типичные примеры оптимизационных задач:

  • Определить , при котором доход от реализации произведенной продукции максимальный;
  • Определить , при которой общие затраты на перевозку были бы минимальными;
  • Найти , чтобы общие затраты на производство продукции были бы минимальными;
  • Определить минимальный срок исполнения всех работ проекта (критический путь).

Для формализации поставленной задачи требуется создать модель, которая бы отражала существенные характеристики предметной области (и не включала бы незначительные детали). Следует учесть, что модель оптимизируется Поиском решения только по одному показателю (этот оптимизируемый показатель называется целевой функцией ).
В MS EXCEL модель представляет собой совокупность связанных между собой формул, которые в качестве аргументов используют переменные. Как правило, эти переменные могут принимать только допустимые значения с учетом заданных пользователем ограничений.
Поиск решения подбирает такие значения этих переменных (с учетом заданных ограничений), чтобы целевая функция была максимальной (минимальной) или была равна заданному числовому значению.

Примечание . В простейшем случае модель может быть описана с помощью одной формулы. Некоторые из таких моделей могут быть оптимизированы с помощью инструмента . Перед первым знакомством с Поиском решения имеет смысл сначала детально разобраться с родственным ему инструментом .
Основные отличия Подбора параметра от Поиска решения :

  • Подбор параметра работает только с моделями с одной переменной;
  • в нем невозможно задать ограничения для переменных;
  • определяется не максимум или минимум целевой функции, а ее равенство некому значению;
  • эффективно работает только в случае линейных моделей, в нелинейном случае находит локальный оптимум (ближайший к первоначальному значению переменной).

Подготовка оптимизационной модели в MS EXCEL

Поиск решения оптимизирует значение целевой функции. Под целевой функцией подразумевается формула, возвращающая единственное значение в ячейку. Результат формулы должен зависеть от переменных модели (не обязательно напрямую, можно через результат вычисления других формул).
Ограничения модели могут быть наложены как на диапазон варьирования самих переменных, так и на результаты вычисления других формул модели, зависящих от этих переменных.
Все ячейки, содержащие переменные и ограничения модели должны быть расположены только на одном листе книги. Ввод параметров в диалоговом окне Поиска решения возможен только с этого листа.
Целевая функция (ячейка) также должна быть расположена на этом листе. Но, промежуточные вычисления (формулы) могут быть размещены на других листах.

Совет . Организуйте данные модели так, чтобы на одном листе MS EXCEL располагалась только одна модель. В противном случае, для выполнения расчетов придется постоянно сохранять и загружать настройки Поиска решения (см. ниже).

Приведем алгоритм работы с Поиском решения , который советуют сами разработчики (www.solver.com ):

  • Определите ячейки с переменными модели (decision variables);
  • Создайте формулу в ячейке, которая будет рассчитывать целевую функцию вашей модели (objective function);
  • Создайте формулы в ячейках, которые будут вычислять значения, сравниваемые с ограничениями (левая сторона выражения);
  • С помощью диалогового окна Поиск решения введите ссылки на ячейки содержащие переменные, на целевую функцию, на формулы для ограничений и сами значения ограничений;
  • Запустите Поиск решения для нахождения оптимального решения.

Проделаем все эти шаги на простом примере.

Простой пример использования Поиска решения

Необходимо загрузить контейнер товарами, чтобы вес контейнера был максимальным. Контейнер имеет объем 32 куб.м. Товары содержатся в коробках и ящиках. Каждая коробка с товаром весит 20кг, ее объем составляет 0,15м3. Ящик - 80кг и 0,5м3 соответственно. Необходимо, чтобы общее количество тары было не меньше 110 штук.

Данные модели организуем следующим образом (см. файл примера ).

Переменные модели (количество каждого вида тары) выделены зеленым.
Целевая функция (общий вес всех коробок и ящиков) – красным.
Ограничения модели: по минимальному количеству тары (>=110) и по общему объему (<=32) – синим.
Целевая функция рассчитывается по формуле =СУММПРОИЗВ(B8:C8;B6:C6) – это общий вес всех коробок и ящиков, загруженных в контейнер.
Аналогично рассчитываем общий объем - =СУММПРОИЗВ(B7:C7;B8:C8) . Эта формула нужна, чтобы задать ограничение на общий объем коробок и ящиков (<=32).
Также для задания ограничения модели рассчитаем общее количество тары =СУММ(B8:C8) .
Теперь с помощью диалогового окна Поиск решения введем ссылки на ячейки содержащие переменные, целевую функцию, формулы для ограничений и сами значения ограничений (или ссылки на соответствующие ячейки).
Понятно, что количество коробок и ящиков должно быть целым числом – это еще одно ограничение модели.

После нажатия кнопки Найти решение будут найдены такие количества коробок и ящиков, при котором общий их вес (целевая функция) максимален, и при этом выполнены все заданные ограничения.

Резюме

На самом деле, основной проблемой при решении оптимизационных задач с помощью Поиска решения является отнюдь не тонкости настройки этого инструмента анализа, а правильность построения модели, адекватной поставленной задаче. Поэтому в других статьях сконцентрируемся именно на построении моделей, ведь «кривая» модель часто является причиной невозможности найти решение с помощью Поиска решения .
Зачастую проще просмотреть несколько типовых задач, найти среди них похожую, а затем адаптировать эту модель под свою задачу.
Решение классических оптимизационных задач с помощью Поиска решения рассмотрено .

Поиску решения не удалось найти решения (Solver could not find a feasible solution)

Это сообщение появляется, когда Поиск решения не смог найти сочетаний значений переменных, которые одновременно удовлетворяют всем ограничениям.
Если вы используете Симплекс метод решения линейных задач , то можно быть уверенным, что решения действительно не существует.
Если вы используете метод решения нелинейных задач, который всегда начинается с начальных значений переменных, то это может также означать, что допустимое решение далеко от этих начальных значений. Если вы запустите Поиск решения с другими начальными значениями переменных, то, возможно, решение будет найдено.
Представим, что при решении задачи нелинейным методом, ячейки с переменными были оставлены не заполненными (т.е. начальные значения равны 0), и Поиск решения не нашел решения. Это не означает, что решения действительно не существует (хотя это может быть и так). Теперь, основываясь на результатах некой экспертной оценки, в ячейки с переменными введем другой набор значений, который, по Вашему мнению, близок к оптимальному (искомому). В этом случае, Поиск решения может найти решение (если оно действительно существует).

Примечание . О влиянии нелинейности модели на результаты расчетов можно прочитать в последнем разделе статьи .

В любом случае (линейном или нелинейном), Вы должны сначала проанализировать модель на непротиворечивость ограничений, то есть условий, которые не могут быть удовлетворены одновременно. Чаще всего это связано с неправильным выбором соотношения (например, <= вместо >=) или граничного значения.
Если, например, в рассмотренном выше примере, значение максимального объема установить 16 м3 вместо 32 м3, то это ограничение станет противоречить ограничению по минимальному количеству мест (110), т.к. минимальному количеству мест соответствует объем равный 16,5 м3 (110*0,15, где 0,15 – объем коробки, т.е. самой маленькой тары). Установив в качестве ограничения максимального объема 16 м3, Поиск решения не найдет решения.

При ограничении 17 м3 Поиск решения найдет решение.

Некоторые настройки Поиска решения

Метод решения
Рассмотренная выше модель является линейной, т.е. целевая функция (M – общий вес, который может быть максимален) выражена следующим уравнением M=a1*x1+a2*x2, где x1 и x2 – это переменные модели (количество коробок и ящиков), а1 и а2 – их веса. В линейной модели ограничения также должны быть линейными функциями от переменных. В нашем случае ограничение по объему V=b1*x1+b2*x2 также выражается линейной зависимостью. Очевидно, что другое ограничение - Максимальное количество тары (n) – также линейно x1+x2 Линейные задачи обычно решаются с помощью Симплекс метода. Выбрав этот метод решения в окне Поиска решения можно также проверить на линейность саму модель. В случае нелинейной модели Вы получите следующее сообщение:

В этом случае необходимо выбрать метод для решения нелинейной задачи. Примеры нелинейных зависимостей: V=b1*x1*x1; V=b1*x1^0,9; V=b1*x1*x2, где x – переменная, а V – целевая функция.

Кнопки Добавить, Изменить, Удалить
Эти кнопки позволяют добавлять, изменять и удалять ограничения модели.

Кнопка Сбросить
Чтобы удалить все настройки Поиска решения нажмите кнопку Сбросить – диалоговое окно очистится.


Эта опция удобна при использовании разных вариантов ограничений. При сохранении параметров модели (кнопка Загрузить/ Сохранить, далее нажмите кнопку Сохранить ) предлагается выбрать верхнюю ячейку диапазона (столбца), в который будут помещены: ссылка на целевую функцию, ссылки на ячейки с переменными, ограничения и параметры методов решения (доступные через кнопку Параметры ). Перед сохранением убедитесь в том, что этот диапазон не содержит данных модели.
Для загрузки сохраненных параметров нажмите сначала кнопку Загрузить/ Сохранить , затем, в появившемся диалоговом окне кнопку Загрузить , после чего задайте диапазон ячеек, содержащих сохраненные ранее настройки (нельзя указывать только одну верхнюю ячейку). Нажмите кнопку OK. Подтвердите сброс текущих значений параметров задачи и их замену на новые.

Точность
При создании модели исследователь изначально имеет некую оценку диапазонов варьирования целевой функции и переменных. Принимая во внимание вычислений в MS EXCEL, рекомендуется, чтобы эти диапазоны варьирования были значительно выше точности вычисления (она обычно устанавливается от 0,001 до 0,000001). Как правило, данные в модели нормируют так, чтобы диапазоны варьирования целевой функции и переменных были в пределах 0,1 – 100 000. Конечно, все зависит от конкретной модели, но если ваши переменные изменяются более чем на 5-6 порядков, то возможно следует «загрубить» модель, например, с помощью операции логарифмирования.